Description d'un système classique

Pour un système classique, on définit un microétat par la donnée de ses variables canoniques à un instant $t_0$ quelconque:

$$\displaystyle \{q_i (t_0), p_i (t_0); ~i\in\{1..n\} \}$$

où $n$ est le nombre de degrés de liberté du système. Il s'agit donc d'un vecteur à $2n$ composantes. Le problème est de savoir comment nous allons compter le nombre de microétats accessibles au système.

Prenons l'exemple d'un oscillateur harmonique à une dimension, dont l'hamiltonien s'écrit:

$$H(x,p_x) = \frac{P_x^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 x^2 = E$$ (2.16)

Nous faisons l'hypothèse que ce système est isolé: son énergie $E$ est fixée, mais connue à $dE$ près . Ainsi, les microétats accessibles au système sont tous les couples $\{x, p_x\}$ vérifiant (2.16). Cette dernière relation s'écrit encore:

$$\left(\frac{p_x}{{p_x}_0}\right)^2 + \left(\frac{x}{x_0}\right)^2 = 1$$

où $${p_x}_0 = \sqrt{2mE} ~$$et$~ x_0 = \sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}}$. Dans l'espace des phases, il s'agit de l'équation d'une ellipse.

Figure 2.2: Microétats accessibles dans l'espace des phases.

L'énergie du système étant connue à $dE$ près, les microétats accessibles au système sont donc tous les couples de points $(x,p_x)$ de l'espace des phases contenus entre les deux ellipses d'énergie correspondante $E$ et $E+dE$... ce qui fait en fait une infinité de couples de points! Néanmoins, l'iné-galité d'Heisemberg va simplifier la recherche des microétats: dans la mesure où l'on doit satisfaire à l'inégalité $$dx\times dp_x \gtrsim \hbar$$, on voit immédiatement que deux couples de points compris dans la même ``cellule'' dont l'aire - dans l'espace des phases - est de l'ordre de grandeur de $\hbar$ vont correspondre au même microétat.

La remarque précédente conduit naturellement à définir la notion de cellule élémentaire de l'espace des phases: il s'agit d'une cellule de dimensions $dx\times dp_x$ telle que deux points de l'espace des phases appartenant à cette cellule se rapportent au même microétat. En d'autres termes, on définit un microétat d'un système classique comme une cellule élémentaire de l'espace des phases. Reste à préciser que la surface de cette cellule élémentaire est égale à $h$ afin que les calculs quantiques et classiques soient strictement équivalents.

En effet, reprenons l'exemple de la particule de gaz confinée dans une boîte de volume $V = L_x L_y L_z$. Nous calculons $\phi(E)$ et $\rho(E)$ par l'approche classique: le volume accessible dans l'espace des phases est:

$$\int_{0}^{L_x}\int_{0}^{L_y}\int_{0}^{L_z}\underbrace{\int\int\int}_{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2 \leq 2mE} dx~dy~dz~dp_x~dp_y~dp_z$$

c'est-à-dire: $$V\times\frac{4}{3}\pi\left(2mE\right)^{\frac{3}{2}}$$. La taille d'une cellule élémentaire est, d'après ce qui précède, $h^3$ (attention, on est à trois dimensions), d'où:

$$\phi(E) = \frac{4}{3}\frac{\pi V}{h^3}\left(2mE\right)^{\frac{3}{2}} ~~~~~~ \rho(E) = \frac{2\pi V}{h^3}\left(2mE\right)^{\frac{3}{2}}\sqrt{E}$$

ce qui correspond exactement aux résultats du calcul quantique - cf. (2.11) et (2.12) -.

Remarque: Si l'on utilise, dans la description classique, les variables canoniques du formalisme hamiltonien au lieu des variables du formalisme lagrangien, c'est à cause du théorème de Liouville^2.4 qui assure la conservation de l'élément de volume de l'espace des phases au cours du temps.