Principe ergodique

Pour décrire un système macroscopique, nous avons jusqu'à maintenant adopté une approche temporelle, consistant à effectuer un très grand nombre de mesures sur le système. Soit une grandeur physique notée $A$ dont les différentes valeurs possibles sont indexées par $A_{\ell}$. Avec cette démarche, nous pouvons écrire que la valeur moyenne temporelle de $A$, $\overline{A}$, est égale à:

$$\overline{A} = \sum_{\ell} {A_{\ell} P_{\ell}}$$

où $$P_{\ell} = \lim_{N\to\infty} {\frac{N(\ell)}{N}}$$ et, comme précédemment, $N$ est le nombre de mesures effectuées et $N(\ell)$ le nombre de fois que $A$ prend la valeur $A_{\ell}$.

L'approche du thermodynamicien Gibbs est différente: au lieu de prendre un unique système sur lequel on effectue un très grand nombre de mesures, on prend au contraire un très grand nombre de systèmes - $N$ - dont on effectue la mesure à un instant donné. On réalise dans ce cas une moyenne d'ensemble. Calculons justement la moyenne d'ensemble de notre grandeur $A$:

$$<A> ~= \frac{1}{N}\sum_{\ell} {A_{\ell} N_{\ell}}$$

Or on a vu que pour $N$ assez grand, $$\frac{N_{\ell}}{N} = P_{\ell}$$. D'où pour $N$ assez grand, nous avons:

$$<A> ~= \overline{A} = \sum_{\ell} {A_{\ell} P_{\ell}}$$ (2.15)

Il s'agit du principe ergodique: on postule que moyenne temporelle et moyenne d'ensemble sont équivalentes. Néanmoins, une moyenne temporelle est plus pratique dans la mesure où elle ne fait intervenir qu'un seul système d'étude, contrairement à la moyenne d'ensemble qui en fait intervenir un nombre indéterminé.