Cas des bosons: statistique de Bose-Einstein

Dans ce cas, $N_{\lambda}$ peut prendre toutes les valeurs naturelles, d'où:

$$\xi_{\lambda}^{B} = \sum_{N_{\lambda} = 0}^{\infty}{\left(e^{-\beta(\varepsilon_{\lambda} - \mu)}\right)^{N_{\lambda}}}$$

c'est-à-dire:

$$\displaystyle \xi_{\lambda}^{B} = \frac{1}{1 - e^{-\beta(\varepsilon_{\lambda} - \mu)}}$$ (6.42)

Attention: pour que la somme de la série géométrique converge, il est nécessaire et suffisant que $\forall{\lambda}$, $\varepsilon_{\lambda} > \mu$, et surtout ``là où cela fait mal''^6.1 c'est-à-dire au fondamental; ce qui revient en fait à imposer que $\varepsilon_{0} > \mu$. Ainsi, pour un système de bosons, l'équilibre n'est possible que si le potentiel chimique imposé par le réservoir $R$ est strictement inférieur à l'énergie du niveau fondamental.

On en déduit de nouveau $\overline{N_{\lambda}}$ par (6.36):

$$\fbox{$\displaystyle \overline{N_{\lambda}^{B}} = \frac{1}{e^{\beta(\varepsilon_{\lambda} - \mu)} - 1}$}$$ (6.43)

On remarquera encore que:

$$\xi_{\lambda}^{B} = 1 + \overline{N_{\lambda}^{B}}$$

Expression de Z:

Par analogie avec le gaz parfait de fermions et d'après (6.41):

$$\ln(Z) = -\sum_{\lambda}{\ln(1 - e^{-\beta(\varepsilon_{\lambda} - \mu)})} - \beta\mu N$$