Cas des fermions: statistique de Fermi-Dirac

D'après le principe d'exclusion de Pauli: $\forall{\lambda}$, $N_{\lambda} = 0$ ou $1$. D'après (6.35), nous avons donc:

$$\xi_{\lambda}^{F} = 1 + e^{-\beta(\varepsilon_{\lambda} - \mu)}$$ (6.39)

On en déduit $\overline{N_{\lambda}}$ à partir de (6.36):

$$\fbox{$\displaystyle \overline{N_{\lambda}^{F}} = \frac{1}{1 + e^{\beta(\varepsilon_{\lambda} - \mu)}}$}$$ (6.40)

En outre, on remarquera que:

$$\xi_{\lambda}^{F} = \frac{1}{1 - \overline{N_{\lambda}^{F}}}$$

Expression de Z:

Pour cela, on utilise l'expression du grand potentiel:

$$J = -k_{B}T\ln\Xi = -k_{B}T\sum_{\lambda}{\ln(\xi_{\lambda})}$$

De plus, $J \approx F - \mu N$ à la limite thermodynamique et $F = -k_{B}T\ln(Z)$. Par conséquent, nous obtenons la relation générale pour $Z$:

$$\ln(Z) = \sum_{\lambda}{\ln(\xi_{\lambda})} - \beta\mu N$$ (6.41)

soit finalement:

$$\ln(Z) = \sum_{\lambda}{\ln(1 + e^{-\beta(\varepsilon_{\lambda} - \mu)})} - \beta\mu N$$