Entropie microcanonique

A partir de l'expression de $P_{\ell}$ déterminée précédemment, l'entropie microcanonique, que l'on note $S^*$, est égale à:

$$S^* (E,x) = k_B ~\frac{\ln \Omega(E,x)}{\Omega(E,x)} \times\sum_{\ell = 1}^{\Omega(E,x)} {1} ~~~~~~$$soit:

$$\fbox{$\displaystyle S^* (E,x) = k_B \ln \Omega(E,x)$}$$ (3.3)

D'après (3.1), nous avons encore:

$$S^* (E,x) = k_B \ln\left[\rho(E,x)dE\right]$$ (3.4)

Nous pouvons réécrire cette dernière relation:

$$S^* (E,x) = k_B \ln\left[\rho(E,x)\times\varepsilon\times\frac{dE}{\varepsilon}\right]$$

en faisant intervenir $$\varepsilon = \frac{E}{f}$$, énergie moyenne par degré de liberté du système. Ainsi:

$$\left. S^* (E,x) \right. = k_B \ln \left[\rho(E,x)\varepsilon\right] + k_B \ln\left(\frac{dE}{E}\times f\right)$$

$$= k_B \underbrace{\ln \rho(E,x)\varepsilon}_{\approx f} ~+~ k_B \ln\big(\underbrace{\frac{dE}{E}}_{\ll 1}\big) + k_B \ln f$$

$f$ étant de l'ordre du nombre d'Avogadro, le premier terme de l'expression précédente est généralement prépondérant sur les deux autres et ainsi:

$$\fbox{$\displaystyle S^* (E,x) \approx k_B \ln \left[\rho(E,x)\varepsilon\right]$}$$ (3.5)

Cette dernière relation est importante car elle indique que l'entropie microcanonique $S^*$ ne dépend plus de $dE$. On peut même aller plus loin dans les approximations en partant de (3.4) et en prenant le logarithme népérien de quantités dimensionnées:

$$S^* (E,x) = k_B \ln\rho(E,x) + k_B \ln dE$$

Ainsi, parce que $\rho(E,x) \sim E^f$, nous obtenons:

$$\fbox{$\displaystyle S^* (E,x) \approx k_B \ln \rho(E,x)$}$$ (3.6)

Enfin, étant donné que $$\rho(E,x) = \frac{\partial\phi(E,x)}{\partial E}$$, nous déduisons de même:

$$\fbox{$\displaystyle S^* (E,x) \approx k_B \ln \phi(E,x)$}$$ (3.7)