Généralisation à N particules

Nous adoptons ici les conditions aux limites périodiques. Par analogie avec le cas d'une particule de gaz, le volume accessible dans l'espace des $\vec{k}$ est celui d'une hypersphère, en dimension $3N$, de rayon $$\frac{2mE}{\hbar^2}$$ i.e.:

$$\frac{\pi^{\frac{3N}{2}}}{\Gamma\left(\frac{3N}{2} - 1 \right)}\times\left(\frac{2mE}{\hbar^2}\right)^{\frac{3N}{2}}$$

Le volume d'un parallélépipède est: $$\left(\frac{2\pi}{L_x}\times\frac{2\pi}{L_y}\times\frac{2\pi}{L_z}\right)^N = \frac{\left(2\pi\right)^{3N}}{V^N}$$. Par conséquent, nous obtenons:

$$\fbox{$\displaystyle \phi(E) = \frac{\pi^{\frac{3N}{2}}}{\Gamma\l... ...}{2} - 1 \right)}\times V^N \times\left(\frac{2mE}{h^2}\right)^{\frac{3N}{2}}$}$$ (2.13)

$$\fbox{$\displaystyle \rho(E) = \frac{3N}{2}\times\frac{V^N}{\Gamm... ...rac{2m\pi}{h^2}\right)^{\frac{3N}{2}}\times E^{\left(\frac{3N}{2} - 1\right)}$}$$ (2.14)

Nous verrons toutefois au chapitre suivant que ces résultats se révêlent inexactes dans le cas où les particules de gaz sont toutes identiques...