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Equations générales

L'approximation continue étant licite, nous devons en premier lieu calculer la densité d'état $ \rho(E)$. Pour cela, on se place dans l'espace des phases; les électrons étant indépendants et non-relativistes, nous avons $ p = \sqrt{2mE} $. Les microétats d'énergie inférieure ou égale à $ E$ sont donc compris dans la sphère de centre l'origine et de rayon $ p$. D'où, tenant compte des dégénérescences de spin, nous avons:

$\displaystyle \phi(E) = (2s + 1)\frac{V}{h^{3}}\frac{4}{3}\pi(2mE)^{\frac{3}{2}}$

$ s = \frac{1}{2}$ (fermions), donc:

$\displaystyle \rho(E) = \frac{4\pi V}{h^{3}}(2m)^{\frac{3}{2}}\sqrt{E}$

ce qu'on notera désormais sous la forme:

$\displaystyle \rho(E) = AV\sqrt{E}$ (7.5)

$\displaystyle A = \frac{4\pi}{h^{3}}(2m)^{\frac{3}{2}}$

Calcul de $ \mu$

On applique (7.1):

$\displaystyle \left. N
\right.$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{0}^{\infty}{\rho(\varepsilon)d\varepsilon\frac{1}{e^{\beta (\varepsilon - \mu)} + 1}}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle AV\int_{0}^{\infty}{d\varepsilon\sqrt{\varepsilon}\frac{1}{e^{\beta (\varepsilon - \mu)} + 1}}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle AV(k_{B}T)^{\frac{3}{2}}\int_{0}^{\infty}{\frac{\sqrt{x}dx}{\frac{e^{x}}{\phi} + 1}}$  

$ x=\beta\varepsilon$ et $ \phi = e^{\beta\mu}$ est la fugacité du système.

On reconnaît dans l'expression ci-dessus une intégrale de Fermi:

$\displaystyle \fbox{$\displaystyle N = AV(k_{B}T)^{\frac{3}{2}}I_{\frac{1}{2}}(\phi)$}$ (7.6)

Cette dernière relation est importante: c'est elle qui donne implicitement accès à $ \mu$. Pour cela, on résout graphiquement l'équation:

$\displaystyle \frac{N}{AV(k_{B}T)^{\frac{3}{2}}} = I_{\frac{1}{2}}(\phi)$

Calcul de E

L'énergie du système est donnée par (7.2), un calcul identique à ce qui précède donne facilement:

$\displaystyle \fbox{$\displaystyle E = AV(k_{B}T)^{\frac{5}{2}}I_{\frac{3}{2}}(\phi)$}$ (7.7)

Remarque: On définit de façon générale les intégrales de Fermi par:

$\displaystyle I_{\nu}(\phi) = \int_{0}^{\infty}{\frac{x^{\nu}dx}{\frac{e^{x}}{\phi} + 1}}$

Calcul de J

Le grand potentiel du système est donné par (7.3); en remplaçant là encore $ \rho(\varepsilon)$ par son expression (7.5), il vient:

$\displaystyle J = -k_{B}TAV\int_{0}^{\infty}{\ln\left(1 + e^{-\beta(\varepsilon - \mu)}\right)\sqrt{\varepsilon}d\varepsilon}$

ce qu'on intègre par parties:

$\displaystyle J = -k_{B}TAV\left(\left[\frac{2}{3}\varepsilon^{\frac{3}{2}}\ln(...
...varepsilon^{\frac{3}{2}}d\varepsilon}{e^{\beta(\varepsilon - \mu)} + 1}}\right)$

Le terme tout intégré est nul par croissances comparées et il s'ensuit:

$\displaystyle \fbox{$\displaystyle J = -\frac{2}{3}E$}\index{Potentiel!grand}$ (7.8)

On peut alors en déduire les valeurs de $ S$, $ F$ et $ p$ par les relations énoncées en fin de premier paragraphe.


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Clément Baruteau 2003-04-30