Position du problème

Le système étudié est constitué de $N$ fermions identiques, indépendants et indiscernables: il s'agit donc d'un gaz parfait de fermions. Nous ferons l'hypothèse que $N$ est suffisamment grand pour considérer que la limite thermodynamique est atteinte: notre système peut donc être étudié dans l'une quelconque des trois situations canoniques. L'approximation continue est de plus justifiée et nous exploiterons les formules établies au chapitre précédent:

$$N = \int_{\varepsilon_{0}}^{\infty}{\rho(\varepsilon)d\varepsilon\frac{1}{e^{\beta (\varepsilon - \mu)} + 1}}$$ (7.1)

relation donnant implicitement accès à $\mu$,

$$E = \int_{\varepsilon_{0}}^{\infty}{\varepsilon\rho(\varepsilon)d\varepsilon\frac{1}{e^{\beta (\varepsilon - \mu)} + 1}}$$ (7.2)

ainsi que:

$$J = -k_{B}T\int_{\varepsilon_{0}}^{\infty}{\rho(\varepsilon)\ln(1 + e^{-\beta (\varepsilon - \mu)})d\varepsilon}$$ (7.3)

On en déduit alors: $$S = -\Big(\frac{\partial{J}}{\partial{T}}\Big)_{\mu,N},$$ $$F = E - TS,$$ et $$p = -\Big(\frac{\partial{J}}{\partial{V}}\Big)_{\mu,T}$$

Remarque: Les fermions étant indépendants, l'énergie du niveau fondamental est nulle: $\varepsilon_0 = 0$.