Définitions

On définit la grande fonction de partition du système par:

$$\Xi(T,\mu,V,...) = \sum_{\ell}{e^{-\beta(E_{\ell} - \mu N_{\ell})}}$$ (6.8)

On peut également exploiter (6.5) et la condition $$\sum_{N=0}^{\infty}{P(N)} = 1$$ pour obtenir:

$$\Xi = \sum_{N=0}^{\infty}{e^{\beta\mu N}Z(T,N)}$$ (6.9)

Lorsque l'approximation continue s'impose, nous avons:

$$\Xi = \int_{E_{0}}^{\infty}{\int_{0}^{\infty}{\rho(E,N)e^{-\beta(E - \mu N)}dE}dN}$$

où $\rho(E,N)dEdN$ est le nombre d'états propres de $s$ dont l'énergie est comprise entre $E$ et $E+dE$ et le nombre de particules compris entre $N$ et $N + dN$, soit:

$$\Xi = \int_{0}^{\infty}{dN}\int_{E_{0}(N)}^{\infty}{\rho(E,N)e^{-\beta(E - \mu N)}dE}$$ (6.10)

Remarque: La relation (6.9) est intéressante car elle fait intervenir le facteur $e^{_\beta\mu}$, noté d'ordinaire $\phi$, appelé fugacité du système. On peut donc écrire $\Xi$ sous la forme d'un développement en série des puissances de la fugacité:

$$\Xi = \sum_{N=0}^{\infty}{\phi^{N}Z(T,N)}$$ (6.11)

On définit enfin le grand potentiel $J$ du système par:

$$\fbox{$\displaystyle J(T,\mu,V,...) = -k_{B}T\ln\Xi(T,\mu,V,...)$}$$ (6.12)

On remarquera l'analogie dans les définitions de $J$ et de $F$.