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Nombre de particules

La probabilité $ P(N)$ que $ s$ ait $ N$ particules est:

$\displaystyle \left. P(N)
\right.$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{\ell, ~N_{\ell} = N}{P_{\ell}}$  
$\displaystyle \left. P(N)
\right.$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{\ell, ~N_{\ell} = N}{\frac{e^{-\beta(E_{\ell} - \mu N_{\ell})}}{\Xi}}$  
$\displaystyle \left. P(N)
\right.$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{e^{\beta\mu N}}{\Xi}\sum_{l, ~N_{\ell} = N}{e^{-\beta E_{\ell}}}$  

Finalement:

$\displaystyle \fbox{$\displaystyle P(N) = \frac{e^{\beta\mu N}}{\Xi}Z(T , N)$}$ (6.5)

$ Z(T,N)$ est la fonction de partition canonique de $ s$ pour $ N$ particules, à $ N$ fixé.

Remarque: Comme $ F = -k_{B}T\ln(Z)$, on a $ Z = e^{-\beta F}$ et ainsi:

$\displaystyle P(N) = \frac{e^{-\beta(F - \mu N)}}{\Xi}$ (6.6)



Clément Baruteau 2003-04-30