Nombre de particules

La probabilité $P(N)$ que $s$ ait $N$ particules est:

$$\left. P(N) \right. = \sum_{\ell, ~N_{\ell} = N}{P_{\ell}}$$

$$\left. P(N) \right. = \sum_{\ell, ~N_{\ell} = N}{\frac{e^{-\beta(E_{\ell} - \mu N_{\ell})}}{\Xi}}$$

$$\left. P(N) \right. = \frac{e^{\beta\mu N}}{\Xi}\sum_{l, ~N_{\ell} = N}{e^{-\beta E_{\ell}}}$$

Finalement:

$$\fbox{$\displaystyle P(N) = \frac{e^{\beta\mu N}}{\Xi}Z(T , N)$}$$ (6.5)

où $Z(T,N)$ est la fonction de partition canonique de $s$ pour $N$ particules, à $N$ fixé.

Remarque: Comme $F = -k_{B}T\ln(Z)$, on a $Z = e^{-\beta F}$ et ainsi:

$$P(N) = \frac{e^{-\beta(F - \mu N)}}{\Xi}$$ (6.6)