Distribution de Poisson

Il s'agit du cas limite de la distribution binomiale où $p \ll 1$ et $n_r \ll N$. Dans ces conditions:

$${\rm C}_N^{n_r} = \frac{N(N-1)\ldots(N-n_r +1)}{n_r !} \approx \frac{N^{n_r}}{{n_r}!}~~~~$$et

$$\ln q^{N-n_r} = \ln\left(1-p\right)^{N-n_r} = \underbrace{\left(N-n_r\right)}_{\sim N}\underbrace{\ln\left(1-p\right)}_{\sim -p} \approx -Np$$

donc $$q^{N-n_r} \approx e^{-Np}$$.

Ainsi, $$P({n_r}) = {\rm C}_N^{n_r}~p^{n_r}~q^{N-n_r} \approx \frac{N^{n_r}}{{n_r}!}~p^{n_r} ~e^{-Np}$$. Posons $$\lambda = Np$$:

$$\fbox{$\displaystyle P({n_r}) = \frac{\lambda^{n_r}}{{n_r}!}~e^{-\lambda}$}$$ (2.20)

Remarquons que cette distribution est bien normalisée à 1 car:

$$\sum_{n_r = 0}^N {P(n_r)} = e^{-\lambda}\sum_{n_r = 0}^N {\frac{\... ...fty} {\frac{\lambda^{n_r}}{{n_r}!}}}_{n_r \ll N} = e^{-\lambda}~e^{\lambda} = 1$$

Valeur moyenne de la distribution:

$$\left. <n_r> \right. = e^{-\lambda} \sum_{n_r = 0}^N {n_r ~\frac{\lambda^{n_r}}{{n_r}!}}$$

$$= \lambda e^{-\lambda} \sum_{n_r = 1}^N {\frac{\lambda^{n_r - 1}}{\left({n_r - 1}\right)!}}$$

$$= \lambda e^{-\lambda} \sum_{k = 0}^{N-1} {\frac{\lambda^k}{k!}}$$

Etant donné que $n_r \ll N$, nous avons finalement:

$$\fbox{$\displaystyle <n_r> ~= \lambda = Np$}$$ (2.21)

La valeur moyenne de la distribution poissonienne est donc égale à la valeur moyenne de la distribution binomiale.

Variance de la distribution:

Comme pour la distribution binomiale, il nous faut d'abord calculer
[4]$<n_r^2>$:

$$\left. <n_r^2> \right. = e^{-\lambda} \sum_{n_r = 0}^N {n_r^2 ~\frac{\lambda^{n_r}}{{n_r}!}}$$

$$= \lambda e^{-\lambda} \sum_{n_r = 1}^N {n_r ~\frac{\lambda^{n_r - 1}}{\left({n_r - 1}\right)!}}$$

$$= \lambda e^{-\lambda} \left\{~\sum_{n_r = 1}^N {\left(n_r - 1\righ... ...+ \sum_{n_r = 1}^N {\frac{\lambda^{n_r - 1}}{\left({n_r - 1}\right)!}}~\right\}$$

$$= \lambda^2 e^{-\lambda} \sum_{n_r = 2}^N {\frac{\lambda^{n_r - 2}}... ...^{-\lambda}\sum_{n_r = 1}^N {\frac{\lambda^{n_r - 1}}{\left({n_r - 1}\right)!}}$$

$$= \underbrace{\lambda^2}_{<n_r>^2} + ~\lambda ~~~~~~ N \gg n_r$$

Finalement, la variance de la distribution de Poisson est:

$$\fbox{$\displaystyle {\sigma_{n_r}}^2 = \lambda = Np = ~<n_r>$}$$ (2.22)

Là encore, l'amplitude relative des fluctuations de $n_r$ autour de sa valeur moyenne vérifie:

$$\frac{\sigma_{n_r}}{<n_r>} = \frac{\sqrt{Np}}{Np} \propto \frac{1}{\sqrt{N}}$$