Entropie d'un gaz parfait

a)

Couple (T,V)

Partons de la première identité thermodynamique: $dU = TdS - PdV$ donc:

$$dS = \frac{dU}{T} + \frac{PdV}{T}$$

de plus,

$$\frac{P}{T} = \frac{nR}{V}$$

et

$$dU = nC_{\text{v,m}}dT = \frac{nR}{\gamma -1}dT$$

d'où

$$dS = \frac{nR}{\gamma - 1} \frac{dT}{T} + nR\frac{dV}{V}$$

soit, en intégrant $T$ entre $T_{1}$ et $T_{2}$, $V$ entre $V_{1}$ et $V_{2}$:

$$\fbox{$\displaystyle \Delta S = nR\left[\frac{1}{\gamma - 1}\ln\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right) + \ln\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)\right]$}$$ (1.30)

b)

Couple (T,P)

Partons cette fois-ci de la seconde identité thermodynamique: $dH = TdS + VdP$, soit:

$$dS = \frac{dH}{T} - \frac{VdP}{T}$$

de même que précédemment,

$$\frac{V}{T} = \frac{nR}{P}$$

et

$$dH = nC_{\text{pm}}dT = \frac{nR\gamma}{\gamma -1}dT$$

d'où

$$dS = \frac{nR\gamma}{\gamma - 1}\frac{dT}{T} - nR\frac{dP}{P}$$

soit après intégration de $T$ entre $T_{1}$ et $T_{2}$, de $P$ entre $P_{1}$ et $P_{2}$:

$$\fbox{$\displaystyle \Delta S = nR\left[\frac{\gamma}{\gamma - 1}\ln\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right) - \ln\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right)\right]$}$$ (1.31)

c)

Couple (P,V)

On repart du calcul établi pour le couple $(T,V)$ pour obtenir

$$dS = \frac{nR}{\gamma - 1} \frac{dT}{T} + nR\frac{dV}{V}$$

Reste à différencier logarithmiquement l'équation d'état des gaz parfait:

$$\frac{dP}{P} + \frac{dV}{V} = \frac{dT}{T}$$

et à l'injecter dans l'équation précédente pour faire disparaître la dépendance en $T$, ce qui donne:

$$\left. dS \right. = \left(\frac{nR}{\gamma - 1}\right)\left(\frac{dP}{P} + \frac{dV}{V}\right) + nR\frac{dV}{V}$$

$$= \frac{nR}{\gamma - 1}\left[\frac{dP}{P} + \gamma\frac{dV}{V}\right]$$

Après intégration de $P$ entre $P_{1}$ et $P_{2}$ et de $V$ entre $V_{1}$ et $V_{2}$ , il vient finalement:

$$\fbox{$\displaystyle \Delta S = \frac{nR}{\gamma - 1}\left[\ln\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right) + \gamma\ln\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)\right]$}$$ (1.32)

Remarque: pour une transformation adiabatique et réversible (isentropique), $dS = 0$ donne $\frac{dP}{P} + \gamma\frac{dV}{V} = 0$, ce qui n'est autre que la différentielle logarithmique de $PV^{\gamma} =$   constante: on retrouve ainsi la loi de Laplace.

d)

Entropie d'un mélange de gaz parfaits

Le théorème de Gibbs donne assez logiquement: $$S_{\text{mélange~GP}} = \sum_{i}{S_{i, \text{GP}}}$$.