Potentiel chimique du gaz de photons

Exprimons d'abord la fonction d'onde du gaz de photons:

$$Z = \sum_{\{N_{\lambda}\}}{e^{-\beta\sum_{\lambda}{N_{\lambda}\varepsilon_{\lambda}}}}$$

Nous savons de plus que les photons évoluent en nombre non conservé, donc $$\sum_{\lambda}{N_{\lambda}} \neq N$$. Par conséquent:

$$\left. Z \right. = \sum_{N_{1}}{e^{-\beta N_{1}\varepsilon_{1}}}\times\sum_{N_{2}}{e... ...2}}}\times\ldots\times\sum_{N_{\mu}}{e^{-\beta N_{\mu}\varepsilon_{\mu}}}\ldots$$

$$= \prod_{\lambda}{\frac{1}{1 - e^{-\beta\varepsilon_{\lambda}}}}$$

Dès lors, le nombre moyen de photons dans l'état individuel $\lambda$ est :

$$\left. \overline{N_{\lambda}} \right. = -k_{B}T\frac{\partial}{\partial\varepsilon_{\lambda}}\ln(Z)$$

$$= k_{B}T\sum_{\lambda}{\frac{\partial}{\partial \varepsilon_{\lambda}}\ln(1-e^{-\beta\varepsilon_{\lambda}})}$$

$$= \frac{e^{-\beta\varepsilon_{\lambda}}}{1 - e^{-\beta\varepsilon_{\lambda}}}$$

D'où

$$\fbox{$\displaystyle \overline{N_{\lambda}} = \frac{1}{e^{\beta\varepsilon_{\lambda}} - 1}$}$$ (9.6)

Mais à la base, les photons sont des bosons, et la statistique de Bose-Einstein nous a appris au chapitre précédent que le nombre moyen de bosons dans l'état individuel $\lambda$ est:

$$\overline{N_{\lambda}} = \frac{1}{e^{\beta(\varepsilon_{\lambda} - \mu)} - 1}$$ (9.7)

L'identification de (9.6) et (9.7) nous permet d'affirmer que le gaz de photons est un gaz de bosons de potentiel chimique nul.