Température de Bose

En adaptant ce que l'on a vu dans le chapitre précédent (il suffit de remplacer le facteur de Fermi par le facteur de Bose), le nombre moyen de bosons est:

$$N = AV\int_{\varepsilon_0}^{\infty}{\frac{1}{e^{\beta(\varepsilon - \mu)} - 1}\sqrt{\varepsilon}d\varepsilon}$$

Les bosons étant supposés sans structure interne, leur énergie est purement cinétique et celle du niveau fondamental est donc nulle: $\varepsilon_0 = 0$. La condition de convergence de l'intégrale devient alors:

$$\mu(T) < 0$$

Par suite:

$$N = AV\int_{0}^{\infty}{\frac{1}{\frac{e^{\beta\varepsilon}}{\phi} - 1}\sqrt{\varepsilon}d\varepsilon}$$

D'où, posant $x=\beta\varepsilon$ dans l'intégrale et connaissant l'expression de $A$ depuis le chapitre précédent:

$$A = \frac{(2s + 1)}{4\pi^{2}}\left(\frac{2m}{\hbar^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}$$

nous obtenons:

$$\underbrace{\frac{4\pi^{2}}{2s + 1}\left(\frac{\hbar^{2}}{2mk_{B}... ...int_{0}^{\infty}{\frac{\sqrt{x}}{\frac{e^{x}}{\phi} - 1}dx}}_{=\ \ I_{B}(\phi)}$$ (8.5)

Par ailleurs, $I_{B}(\phi)$ - intégrale de Bose dépendant de $\phi$ - est maximale pour $\phi = 1$, et vaut:

$$I_{B}(\phi = 1) = \int_{0}^{\infty}{\frac{\sqrt{x}}{e^{x} - 1}dx} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\ \times\zeta(\frac{3}{2}) \approx 2,315$$

On voit donc bien quel est le problème: si la constante à gauche de l'égalité (8.5) est inférieure à $2.315$, il existe une unique valeur de $\phi$ satisfaisant à l'égalité, autrement notre équation n'a pas de solution mathématique!

Pour l'obtention d'une solution, il est à priori nécessaire que:

$$\frac{4\pi^{2}}{2s + 1}\left(\frac{\hbar^{2}}{2mk_{B}T}\right)^{\frac{3}{2}}n \leq \frac{\sqrt{\pi}}{2}\ \zeta(\frac{3}{2})$$

ce qui impose en somme que $T > T_{B}$, température de Bose définie par:

$$T_{B} = \frac{2\pi\hbar^{2}}{k_{B}m}\left(\frac{n}{2s + 1}\ \frac{1}{\zeta(\frac{3}{2})}\right)^{\frac{2}{3}}$$ (8.6)