Propriétés énergétiques

Les particules de gaz parfait étant supposées indiscernables et l'approximation de Maxwell-Boltzmann étant justifiée d'après ce qui précède, la fonction de partition du gaz vaut donc : $Z = z^{N}/{N!}$. L'énergie moyenne d'un atome de gaz est:

$$\overline{\varepsilon} = -\frac{\partial \ln z}{\partial \beta} = 3 \frac{\partial \ln\Lambda}{\partial \beta}$$

Or

$$\ln\Lambda = \frac{1}{2} \ln\beta + \ln\left(\frac{h}{\sqrt{2\pi m}}\right)$$

donc

$$\overline{\varepsilon} = \frac{3}{2} k_{B}T$$ (5.10)

Sa variance est:

$${\Delta\varepsilon}^2 = \frac{{\partial}^2 \ln(z)}{\partial {\beta}^2} = \frac{3}{2}(k_{B}T)^2$$

et les fluctuations possibles de cette énergie sont:

$$\frac{\Delta\varepsilon}{\overline{\varepsilon}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$$ (5.11)

On remarque ainsi que l'énergie d'une particule de gaz est relativement dispersée. On peut effectuer le même calcul pour $N$ particules, l'énergie moyenne et ses fluctuations relatives sont ainsi:

$$\overline{E} = \frac{3}{2} Nk_{B}T$$ (5.12)

$$\frac{\Delta E}{\overline{E}} = \frac{1}{\sqrt{N}} \sqrt{\frac{2}{3}}$$ (5.13)

Cette fois-ci, avec $N$ particules de gaz, l'amplitude relative des fluctuations de l'énergie autour de sa valeur moyenne est très faible devant l'unité.