Cas général

Dans la section précédente, on a introduit la probabilité $P_{\ell}$ que le système $s$ occupe le microétat $\phi_{\ell}$; à présent on considère la probabilité $P(E_{\ell})$ que $s$ ait l'énergie $E_{\ell}$. Nous avons simplement $$P(E_{\ell}) = g(E_{\ell})P_{\ell}$$ où $$g(E_{\ell})$$ est le degré de dégénérescence de l'énergie $E_{\ell}$. D'où:

$$\fbox{$\displaystyle P(E_{\ell}) = \frac{1}{Z}g(E_{\ell})e^{-\beta E_{\ell}}$}$$ (4.6)

et Z est la fonction de partition de $s$:

$$Z = \sum_{\ell}{e^{-\beta E_{\ell}}} = \sum_{E_{\ell}}{g(E_{\ell})e^{-\beta E_{\ell}}}$$ (4.7)

Dans le cas où le système étudié $s$ est macroscopique - ce qui n'empêche pas de vérifier $f_s \ll f_T$ - les microétats occupés correspondent à des énergies extrêmement proches si bien que l'on peut traiter l'énergie de $s$ comme une variable continue et non plus discrète. La probabilité pour que l'énergie de $s$ soit comprise entre $E$ et $E+dE$ est alors:

$$\fbox{$\displaystyle dP(E) = \frac{1}{Z}\rho(E)e^{-\beta E}dE$}$$ (4.8)

où $\rho(E)$ est le nombre de microétats d'énergie comprise entre $E$ et $E+dE$.

La relation de normalisation $$\int_{E_0}^{\infty}{dP(E)} = 1$$ induit l'expression de la fonction de partition du système supposé macroscopique:

$$Z = \int_{E_0}^{\infty}{\rho(E)e^{-\beta E}dE}$$ (4.9)

où $E_0$ est l'énergie de son niveau fondamental.