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Machines dithermes

a)
Définition

On appelle cycle ditherme un cycle au cours duquel un système fluide est en contact avec deux sources de chaleur: une source chaude de température $ T_{1}$ et une source froide de température $ T_{2} < T_{1}$.

Enoncé de Carnot du second principe: pour qu'un système décrivant un cycle fournisse du travail, il doit nécessairement échanger de la chaleur avec au moins deux sources de chaleur à des températures différentes.


b)
Les différentes machines dithermes

Les machines dithermes doivent respecter:

-
le premier principe : $ \Delta U_{\text{cycle}} = 0 = W + Q_{1} + Q_{2}$, donc

$\displaystyle \fbox{$\displaystyle W = -Q_{1} - Q_{2}$}$ (1.34)

-
le second principe, lequel prend forme par l'inégalité de Carnot - Clausius :

$\displaystyle \fbox{$\displaystyle \frac{Q_{1}}{T_{1}} + \frac{Q_{2}}{T_{2}} \leq 0$}$ (1.35)

Pour définir les différentes sortes de machines dithermes, on trace usuellement le diagramme de Raveau, qui représente $ Q_{1}$ en fonction de $ Q_{2}$ en tenant compte des deux relations précédentes (cf. figure (1.3), page [*]).

Figure 1.3: Diagramme de Raveau : on y distingue quatre zones distinctes correspondant à quatre types de machines dithermes. Les cadres en amont de la courbe verte se rapportent à des cas impossibles d'après l'inégalité de Carnot - Clausius.
\resizebox*{!}{9cm}{\includegraphics{raveau.eps}}
Sur ce diagramme, nous voyons apparaître quatres zones exploitables:


zone 1:
$ W<0$, $ Q_{1}>0$ et $ Q_{2}<0$, le système fournit du travail en prenant de la chaleur à la source chaude pour la donner à la source froide. Il s'agit simplement du cycle moteur, appliqué aux moteurs thermiques.
zone 2:
$ W > 0$, $ Q_{1}>0$ et $ Q_{2}<0$, même configuration que précédemment mais il faut fournir du travail à ce système afin qu'il accomplisse ce transfert de chaleur; ce cas n'est donc pas intéressant car on fournit du travail pour réaliser une transformation naturelle!
zone 3:
$ W > 0$, $ Q_{1}<0$ et $ Q_{2}<0$, sans grand intérêt puisque cette situation correspond au cas d'un cycle monotherme.
zone 4:
$ W > 0$, $ Q_{1}<0$ et $ Q_{2}>0$, le système prend de la chaleur à la source froide (et la maintient donc froide) pour la redonner à la source chaude. Il s'agit d'un cycle récepteur, relatif aux réfrigérateurs ou aux pompes à chaleur.


Remarque: pour les deux cycles dithermes ``intéressants'', i.e. les cycles moteur et récepteur, on remarquera que $ W$ et $ Q_{2}$ sont de même signe.

Nous allons comparer les caractéristiques de ces deux cycles:

         Cycle moteur          Cycle récepteur


On définit le rendement $ r$
( $ 0 \leq r \leq 1$) d'un moteur thermique par

$\displaystyle r = \frac{\text{énergie utile}}{\text{énergie coûteuse}}$

d'où ici

$\displaystyle r = -\frac{W}{Q_{1}}$ (1.36)


On définit de même l'efficacité $ e$ ($ e \geq 0$) d'un cycle récepteur par

$\displaystyle e = \frac{\text{énergie utile}}{\text{énergie coûteuse}}$

*
cas du cycle frigorifique

$\displaystyle e = \frac{Q_{2}}{W}$ (1.37)

*
cas de la pompe à chaleur

$\displaystyle e = -\frac{Q_{1}}{W}$ (1.38)
c)
Cycle de Carnot d'un gaz parfait

Il s'agit d'un cycle ditherme, moteur et réversible constitué de:

-
deux transformations isothermes réversibles.
-
deux transformations adiabatiques réversibles.

Le diagramme de Clapeyron de ce cycle est représenté à la figure (1.4), page [*].

Figure 1.4: Diagramme de Clapeyron du cycle de Carnot d'un gaz parfait: les deux isothermes réversibles se situent entre les points A et B puis C et D; les deux adiabatiques réversibles se situent entre les points B et C puis D et A.
\resizebox*{!}{7cm}{\includegraphics{carnotcycle.eps}}
Ce cycle vérifie en outre l'égalité de Carnot - Clausius dans la mesure où le cycle est réversible:

$\displaystyle \fbox{$\displaystyle \frac{Q_{1}}{T_{1}} + \frac{Q_{2}}{T_{2}} = 0$}$ (1.39)

On définit alors le rendement de Carnot par (1.37) puisque le cycle est moteur: $ r = -W / Q_{1}$. D'autre part, nous avons aussi les équations (1.35) et (1.40) satisfaites, permettant de calculer $ r$ uniquement en fonction des températures des deux sources:

$\displaystyle \left. r_{c} \right.$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{W}{Q_{1}}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{Q_{1} + Q_{2}}{Q_{1}}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 1 + \frac{Q_{2}}{Q_{1}}$  

d'où

$\displaystyle \fbox{$\displaystyle r_{c} = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}$}$ (1.40)

Il est assez remarquable de constater que le rendement de Carnot ne dépend que des températures des sources froide et chaude, et ce indépendament de la perfection mécanique du moteur de Carnot. Bien entendu, il ne faut pas perdre de vue que ce rendement n'est que théorique puisque l'on fait l'hypothèse forte que le cycle étudié est réversible. Il n'est donc jamais utilisé en pratique, d'autant plus que le travail qu'il peut fournir est loin d'être considérable (l'aire du cycle sur le diagramme de Clapeyron figure 1.4 est faible).


d)
Cycles dithermes réels

Les calculs sont analogues aux cycles dithermes parfaits, mais désormais les cycles étudiés sont supposés irréversibles (donc ``réels''), il nous faut adoper l'inégalité de Carnot - Clausius et non plus l'égalité. Il est ainsi immédiat de voir que le rendement du moteur réel est inférieur ou égal au rendement de Carnot, de même que les efficacités des cycles récepteurs réels sont définies comme inférieures ou égales aux efficacités des cycles idéaux correspondants. Plus explicitement, nous avons:

*
pour le moteur réel:

$\displaystyle \fbox{$\displaystyle r_{\text{moteur réel}} \leq 1 - \frac{T_{1}}{T_{2}}$}$ (1.41)

*
pour le réfrigérateur réel:
$\displaystyle \left. e_{\text{frigo réel}} \right.$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \frac{Q_{2}}{W}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{Q_{2}}{Q_{1}+Q_{2}}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{-1}{1 + \frac{Q_{1}}{Q_{2}}}$  
  $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \frac{-1}{1 - \frac{T_{1}}{T_{2}}}$  

donc

$\displaystyle \fbox{$\displaystyle e_{\text{frigo réel}} \leq \frac{T_{2}}{T_{1} - T_{2}}$}$ (1.42)

*
et enfin pour la pompe à chaleur réelle:
$\displaystyle \left. e_{\text{pac réelle}} \right.$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle -\frac{Q_{1}}{W}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{Q_{1}}{Q_{1}+Q_{2}}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{1 + \frac{Q_{2}}{Q_{1}}}$  
  $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \frac{1}{1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}}$  

donc

$\displaystyle \fbox{$\displaystyle e_{\text{pac réelle}} \leq \frac{T_{1}}{T_{1} - T_{2}}$}$ (1.43)

Remarque: On pourrait généraliser tout ce qui vient d'être fait au cas des machines polythermes, c'est-à-dire en contact thermique avec un nombre arbitrairement grand de sources de chaleur, de même que pour les systèmes en contact avec des pseudo-sources de chaleur. Nous terminons ce paragraphe en insérant le graphe représentant le cycle récepteur réel sur la figure (1.5), page [*].

Figure 1.5: Cycle récepteur réel: les étapes de fonctionnement.
\resizebox*{!}{9.5cm}{\includegraphics{cycleditherme.eps}}

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Clément Baruteau 2003-04-30