Loi de Stefan-Boltzmann

La quantité $d E = V u(\omega, T)d\omega$ est l'énergie rayonnée dans la bande spectrale $d\omega$. L'énergie totale rayonnée par les photons dans le corps noir est donc:

$$\left. E \right. = \int_0^{\infty}{Vu(\omega,T)d\omega}$$

$$= V\frac{\hbar}{\pi^2 c^3}\int_0^{\infty}{\frac{\omega^3}{e^{\beta\hbar\omega} - 1}d\omega}$$

$$= V\frac{\hbar}{\pi^2 c^3}\times\left(\frac{k_B T}{\hbar}\right)^4\underbrace{\int_0^{\infty}{\frac{x^3}{e^x - 1}dx}}_{\pi^4 / 15}$$

La densité volumique totale d'énergie rayonnée $u(T)$ est donnée finalement par la loi de Stéfan-Boltzmann:

$$\fbox{$\displaystyle u(T) = \frac{\pi^2}{15}\frac{{k_B}^4}{\hbar^3 c^3}T^4$}$$ (9.12)

c'est-à-dire $u(T) \propto T^4$.