Comportement à $T < T_{B}$

La difficulté de cette situation vient du fait que

$$N > \int_{0}^{\infty}{\frac{\sqrt{\varepsilon}}{e^{\beta\varepsilon} - 1}d\varepsilon}$$

correspondant au cas limite où $\mu = 0$ et donc $\phi = 1$.

L'état fondamental, dans ces conditions, a pour population:

$$N_{0} = \frac{1}{e^{-\beta\mu} - 1} = \frac{\phi}{1 - \phi}$$

Etant donné que $\phi \rightarrow 1$, $\lim_{\phi\to 1}N_{0} = \infty$ et $\lim_{\varepsilon\to 0}\rho(\varepsilon) = 0$.

Ainsi dans $N = \int_{0}^{\infty}{N_{0}\rho(\varepsilon)d\varepsilon}$, le produit $N_{0}\rho(\varepsilon)$ n'est pas défini. Selon Einstein, le problème est résolu si l'on prend une somme discrète au lieu d'une somme continue: