Position du problème

Le système étudié est constitué de $N$ bosons identiques, indépendants et indiscernables: il s'agit d'un gaz parfait de bosons. Nous ferons encore l'hypothèse que $N$ est suffisamment grand pour considérer comme atteinte la limite thermodynamique: notre système peut être étudié dans l'une quelconque des trois situations canoniques. L'approximation continue est ainsi justifiée et nous retrouvons les formules établies au chapitre 6:

$$N = \int_{\varepsilon_{0}}^{\infty}{\rho(\varepsilon)d\varepsilon\frac{1}{e^{\beta (\varepsilon - \mu)} - 1}}$$ (8.1)

relation donnant implicitement accès à $\mu$, avec la condition $\mu(T) < \varepsilon_{0}$ pour que l'intégrale converge effectivement. Par suite,

$$E = \int_{\varepsilon_{0}}^{\infty}{\varepsilon\rho(\varepsilon)d\varepsilon\frac{1}{e^{\beta (\varepsilon - \mu)} - 1}}$$ (8.2)

ainsi que:

$$J = k_{B}T\int_{\varepsilon_{0}}^{\infty}{\rho(\varepsilon)\ln(1 - e^{-\beta (\varepsilon - \mu)})d\varepsilon}$$ (8.3)

On en déduit alors: $$S = -\left(\frac{\partial{J}}{\partial{T}}\right)_{\mu,N},$$ $$F = E - TS,$$ et $$P = -\left(\frac{\partial{J}}{\partial{V}}\right)_{\mu,T}$$