Introduction

Nous étudions dans ce chapitre $N$ particules identiques, indépendantes et indiscernables, enfermées dans un volume $V$ en contact avec un réservoir d'énergie. On suppose de plus que la limite thermodynamique est atteinte, ce qui signifie que $N$ est suffisament important afin que les fluctuations relatives des grandeurs étudiées soient négligeables devant leur valeur moyenne, mais pas trop pour que l'approximation de Maxwell-Boltzmann soit justifiée. La fonction de partition du système total est donc:

$$Z = \frac{{z'}^N}{N!}$$

où $z'$, fontion de partition d'une particule, s'écrit:

$$z' = \sum_{\lambda}\;e^{-\beta\varepsilon'_\lambda}$$

D'après le chapitre précédent, nous savons que la condition de validité de l'approximation de Maxwell-Boltzmann est :

$$N \ll z'e^{\beta\varepsilon'_{0}}$$

Effectuons un changement d'origine des énergies en prenant pour origine l'énergie du niveau fondamental : posons $\varepsilon_{\lambda} = \varepsilon'_{\lambda} - \varepsilon'_{0}$. La fonction de partition d'une particule devient ainsi:

$$\left. z \right. = \sum_{\lambda}\;e^{-\beta(\varepsilon'_\lambda - \varepsilon'_{0})}$$

$$= \sum_{\lambda}\;e^{-\beta\varepsilon_\lambda} = z'e^{\beta\varepsilon'_{0}}$$

c'est-à-dire:

$$\fbox{$\displaystyle z = g(\varepsilon_{0}) + \sum_{\lambda \not=0}\;e^{-\beta\varepsilon_\lambda}$}$$ (5.1)

où $g(\varepsilon_0)$ est le degré de dégénérescence du niveau fondamental.

On remarque aussi qu'il suffit désormais de vérifier $z \gg N$ pour valider l'approximation de Maxwell-Boltzmann .

Attention: Ce chapitre est souvent intitulé ``gaz parfait à la limite classique''. Cela ne signifie en aucune façon que l'on peut calculer $z$ par la mécanique classique, ce qui correponderait à l'approximation classique.