Autres grandeurs thermodynamiques

a)

Calcul de $J$:

Nous avons, d'après la statistique de Bose-Einstein:

$$J = k_B T \int_{0}^{\infty}{\rho(\varepsilon)\ln\left(1 - e^{-\beta\varepsilon}\right)d\varepsilon}$$

D'autre part, nous avons vu que $$\rho(\varepsilon) = \frac{V}{\pi^2 \hbar^3 c^3}\varepsilon^2$$, donc:

$$\left. J \right. = k_B T \frac{V}{\pi^2 \hbar^3 c^3} \int_{0}^{\infty}{\varepsilon^2 \ln\left(1 - e^{-\beta\varepsilon}\right)d\varepsilon}$$

$$= \frac{Vk_B T}{\pi^2 \hbar^3 c^3} \Big\{\underbrace{\left[\frac{\v... ...nt_0^{\infty}{\frac{\varepsilon^3}{e^{\beta\varepsilon} - 1}d\varepsilon}\Big\}$$

$$= -\frac{1}{3}\frac{V\hbar}{\pi^2 c^3}\left(\frac{k_B T}{\hbar}\right)^4 \times \int_0^{\infty}{\frac{x^3}{e^x - 1}dx}$$

D'où finalement l'expression du grand-potentiel:

$$\fbox{$\displaystyle J = -\frac{1}{3}E$}$$ (9.13)

b)

Calcul de $P$:

Le calcul de la pression utilise la relation $$P = -\frac{\partial J}{\partial V}$$; d'après l'expression de $J$ ci-dessus, on a:

$$J = \frac{1}{3}\frac{\hbar}{\pi^2 c^3}\left(\frac{k_B T}{\hbar}\right)^4 \times \int_0^{\infty}{\frac{x^3}{e^x - 1}dx}$$

i.e.:

$$\fbox{$\displaystyle P = \frac{1}{3}u(T)$}$$ (9.14)

c)

Calcul de $S$:

Nous avons $$S = -\frac{\partial J}{\partial T}$$, d'où:

$$S = \frac{4}{3}\frac{\hbar}{\pi^2 c^3}\left(\frac{k_B}{\hbar}\right)^4 T^3 \times \int_0^{\infty}{\frac{x^3}{e^x - 1}dx}$$

i.e.:

$$\fbox{$\displaystyle S = \frac{4}{3}\frac{E}{T}$}$$ (9.15)

d)

Calcul de $F$:

Nous pouvons calculer $F$ par la relation $F = E - TS$, mais nous utiliserons avec profit l'égalité $J = F - \mu N$, vraie à la limite thermodynamique . Or ici le potentiel chimique $\mu$ est nul, d'où simplement:

$$\fbox{$\displaystyle F = J = -\frac{1}{3}E$}$$ (9.16)