Résonance en électrocinétique

- On part du cas du circuit RLC série en régime forcé et on regarde d'abord ce système linéaire aux bornes du résistor. La fonction de transfert est:

$$FT(\omega) = \frac{R}{R + jL\omega + \frac{1}{jC\omega}} = \frac{1}{1 + j(\frac{L\omega}{R} - \frac{1}{RC\omega})}$$

On rappelle les paramètres déjà introduits dans le cadre du cours d'électrocinétique: la pulsation propre $$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$ et le facteur de qualité $$Q = \frac{L\omega_0}{R} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$$. Enfin on introduit la pulsation réduite $$x = \frac{\omega}{\omega_0}$$ si bien que la fonction de transfert devient:

$$FT(x) = \frac{1}{1 + jQ(x - \frac{1}{x})}$$

On s'intéresse pour la résonance au module de cette fonction de transfert et à la condition pour laquelle il est maximal, condition remplie lorsque $x_r^2 = 1$ i.e. lorsque $\omega_r = \omega_0$. Ainsi la résonance en courant a toujours lieu (indépendamment de $Q$) et se produit pour une pulsation excitatrice $\omega_r$ égale à la pulsation propre $\omega_0$.

$\rightarrow$ manip avec la plaquette RLC série ``toute faite''¹, wobulation avec GBF Thandar. On vérifie qu'en faisant varier la résistance sur les AOIP, on observe toujours une résonance en courant.

- On regarde maintenant ce qui se passe aux bornes du condensateur. On ne reprend pas le détail des calculs, on arrive directement à $$\vert FT(x)\vert = \frac{1}{\sqrt{(1 - x^2)^2 + \frac{x^2}{Q^2}}}$$. Cette fois-ci, pas de valeur de $x$ évidente pour laquelle le dénominateur est minimal. L'annulation de la dérivée du dénominateur donne $$x_r^2 = 1 - \frac{1}{2Q^2}$$, ce qui impose $$Q \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$$. Ainsi, contrairement à la résonance en courant, la résonance en tension n'a pas toujours lieu (elle nécessite une condition nécessaire sur $Q$) et se produit pour des pulsations d'excitation différentes de $\omega_0$: $$\omega_r = \omega_0 \sqrt{1 - \frac{1}{2Q^2}}$$.

$\rightarrow$ suite de la manip précédente, cette fois-ci aux bornes de $C$: en augmentant $R$, c'est-à-dire en diminuant le facteur de qualité, on fait remarquer que la résonance en tension disparaît².

On a donc introduit deux paramètres nécessaires et suffisants pour décrire ici les phénomènes de résonance: $\omega_0$ et $Q$. Ce n'est pas très étonnant car on s'intéresse à des courbes de résonance, courbes que l'on peut décrire via la pulsation de centrage et leur largeur à mi-hauteur (rappeler en effet le lien entre largeur à mi-hauteur $\Delta\omega$ et facteur de qualité $Q$ par ce qu'on appelle l'accuité de la résonance: $$Q = \frac{\omega_0}{\Delta\omega}$$.

- On aurait pu tout aussi bien partir du système mécanique équivalent par le biais de l'analogie électromécanique dont on rappelle brièvement les grandes lignes:

• $q$ analogue au déplacement $x$ par rapport à la position d'équilibre donc la résonance d'élongation est analogue à la résonance en tension, n'a ainsi lieu que si l'inégalité précédente sur $Q$ est remplie;
• $i = dq/dt$ analogue à la vitesse $v = dx/dt$ donc la résonance de vitesse est analogue à la résonance en courant et a ainsi toujours lieu.

  
  

- On conclut cette partie en remarquant une analogie formelle entre les systèmes résonants par le biais d'une modélisation aboutissant à une équation différentielle du second ordre du type:

$$\frac{d^2 x}{dt^2} + \frac{1}{\tau}\frac{dx}{dt} + {\omega_0}^2 x = f(\cos(\omega t))$$

On ne manquera pas de rappeler que ce type d'équation rappelle la modélisation de l'électron élastiquement lié.